加法原理（一）

例1從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船。一天中火車有4班，汽車有3班，輪船有2班。問：一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地，共有多少種不同走法？

分析與解：一天中乘坐火車有4種走法，乘坐汽車有3種走法，乘坐輪船有2種走法，所以一天中從甲地到乙地共有：4＋3＋2=9（種）不同走法。

例2旗桿上最多可以掛兩面信號旗，現有紅色、藍色和黃色的信號旗各一面，如果用掛信號旗表示信號，最多能表示出多少種不同的信號？

分析與解：根據掛信號旗的面數可以將信號分為兩類。第一類是只掛一面信號旗，有紅、黃、藍3種；第二類是掛兩面信號旗，有紅黃、紅藍、黃藍、黃紅、藍紅、藍黃6種。所以一共可以表示出不同的信號

　　3＋6=9（種）。

　　以上兩例利用的數學思想就是加法原理。

加法原理：如果完成一件任務有n類方法，在第一類方法中有m1種不同方法，在第二類方法中有m2種不同方法 ……在第n類方法中有mn種不同方法，那么完成這件任務共有

N=m1+m2+…+mn

種不同的方法。

　　乘法原理和加法原理是兩個重要而常用的計數法則，在應用時一定要注意它們的區(qū)別。乘法原理是把一件事分幾步完成，這幾步缺一不可，所以完成任務的不同方法數等于各步方法數的乘積；加法原理是把完成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方法都能完成任務，所以完成任務的不同方法數等于各類方法數之和。

例3兩次擲一枚骰子，兩次出現的數字之和為偶數的情況有多少種？

分析與解：兩次的數字之和是偶數可以分為兩類，即兩數都是奇數，或者兩數都是偶數。

　　因為骰子上有三個奇數，所以兩數都是奇數的有3×3=9（種）情況；同理，兩數都是偶數的也有9種情況。根據加法原理，兩次出現的數字之和為偶數的情況有9＋9＝18（種）。

例4用五種顏色給右圖的五個區(qū)域染色，每個區(qū)域染一種顏色，相鄰的區(qū)域染不同的顏色。問：共有多少種不同的染色方法？

分析與解：本題與上一講的例4表面上十分相似，但解法上卻不相同。因為上一講例4中，區(qū)域A與其它區(qū)域都相鄰，所以區(qū)域A與其它區(qū)域的顏色都不相同。本例中沒有一個區(qū)域與其它所有區(qū)域都相鄰，如果從區(qū)域A開始討論，那么就要分區(qū)域A與區(qū)域E的顏色相同與不同兩種情況。

　　當區(qū)域A與區(qū)域E顏色相同時，A有5種顏色可選；B有4種顏色可選；C有3種顏色可選；D也有3種顏色可選。根據乘法原理，此時不同的染色方法有

　　5×4×3×3＝180（種）。

　　當區(qū)域A與區(qū)域E顏色不同時，A有5種顏色可選；E有4種顏色可選；B有3種顏色可選；C有2種顏色可選；D有2種顏色可選。根據乘法原理，此時不同的染色方法有

　　5×4×3×2×2＝240（種）。

　　再根據加法原理，不同的染色方法共有

　　180＋240=420（種）。

例5用1，2，3，4這四種數碼組成五位數，數字可以重復，至少有連續(xù)三位是1的五位數有多少個？

分析與解：將至少有連續(xù)三位數是1的五位數分成三類：連續(xù)五位是1、恰有連續(xù)四位是1、恰有連續(xù)三位是1。

　　連續(xù)五位是1，只有11111一種；

中任一個，所以有3＋3＝6（種）；

　　3×4＋4×3＋3×3＝33（種）。

　　由加法原理，這樣的五位數共有

　　1＋6＋33＝40（種）。

　　在例5中，我們先將這種五位數分為三類，以后在某些類中又分了若干種情況，其中使用的都是加法原理。

例6右圖中每個小方格的邊長都是1。一只小蟲從直線AB上的O點出發(fā)，沿著橫線與豎線爬行，可上可下，可左可右，但最后仍要回到AB上（不一定回到O點）。如果小蟲爬行的總長是3，那么小蟲有多少條不同的爬行路線？

分析與解：如果小蟲爬行的總長是2，那么小蟲從AB上出發(fā)，回到AB上，其不同路線有6條（見左下圖）；小蟲從與AB相鄰的直線上出發(fā)，回到AB上，其不同路線有4條（見右下圖）。

　　實際上，小蟲爬行的總長是3。小蟲爬行的第一步有四種情況：

　　向左，此時小蟲還在AB上，由上面的分析，后兩步有6條路線；

　　同理，向右也有6條路線；

　　向上，此時小蟲在與AB相鄰的直線上，由上面的分析，后兩步有4條路線；

　　同理，向下也有4條路線。

　　根據加法原理，共有不同的爬行路線

　　6＋6＋4＋4＝20（條）