四年級數學棄九法例題解析
如果一個數的各個數位上的數字之和能被9整除，那么這個數能被9整除；如果一個數各個數位上的數字之和被9除余數是幾，那么這個數被9除的余數也一定是幾。利用這個性質可以迅速地判斷一個數能否被9整除或者求出被9除的余數是幾。
例如，3645732這個數，各個數位上的數字之和為
3＋6＋4＋5＋7＋3＋2＝30，
30被9除余3，所以3645732這個數不能被9整除，且被9除后余數為3。
但是，當一個數的數位較多時，這種計算麻煩且易錯。有沒有更簡便的方法呢？
因為我們只是判斷這個式子被9除的余數，所以凡是若干個數的和是9時，就把這些數劃掉，如3＋6＝9，4＋5＝9，7＋2＝9，把這些數劃掉后，最多只剩下一個3（如下圖），所以這個數除以9的余數是3。
這種將和為9或9的倍數的數字劃掉，用剩下的數字和求除以9的余數的方法，叫做棄九法。
一個數被9除的余數叫做這個數的九余數。利用棄九法可以計算一個數的九余數，還可以檢驗四則運算的正確性。
例1 求多位數7645821369815436715除以9的余數。
分析與解：利用棄九法，將和為9的數依次劃掉。
只剩下7，6，1，5四個數，這時口算一下即可。口算知，7，6，5的和是9的倍數，又可劃掉，只剩下1。所以這個多位數除以9余1。
例2 將自然數1，2，3，…依次無間隔地寫下去組成一個數1234567891011213…如果一直寫到自然數100，那么所得的數除以9的余數是多少？
分析與解：因為這個數太大，全部寫出來很麻煩，在使用棄九法時不能逐個劃掉和為9或9的倍數的數，所以要配合適當的分析。我們已經熟知
1＋2＋3＋…＋9＝45，
而45是9的倍數，所以每一組1，2，3，…，9都可以劃掉。在1～99這九十九個數中，個位數有十組1，2，3，…，9，都可劃掉；十位數也有十組1，2，3，…，9，也都劃掉。這樣在這個大數中，除了0以外，只剩下最后的100中的數字1。所以這個數除以9余1。
在上面的解法中，并沒有計算出這個數各個數位上的數字和，而是利用棄九法分析求解。本題還有其它簡捷的解法。因為一個數與它的各個數位上的數字之和除以9的余數相同，所以題中這個數各個數位上的數字之和，與1＋2＋…＋100除以9的余數相同。
利用高斯求和法，知此和是5050。因為5050的數字和為5＋0＋5＋0=10，利用棄九法，棄去一個9余1，故5050除以9余1。因此題中的數除以9余1。
例3 檢驗下面的加法算式是否正確：
2638457＋3521983＋6745785＝12907225。
分析與解：若干個加數的九余數相加，所得和的九余數應當等于這些加數的和的九余數。如果不等，那么這個加法算式肯定不正確。上式中，三個加數的九余數依次為8，4，6，8+4+6的九余數為0；和的九余數為1。因為0≠1，所以這個算式不正確。
例4 檢驗下面的減法算式是否正確：
7832145-2167953＝5664192。
分析與解：被減數的九余數減去減數的九余數（若不夠減，可在被減數的九余數上加9，然后再減）應當等于差的九余數。如果不等，那么這個減法計算肯定不正確。上式中被減數的九余數是3，減數的九余數是6，由（9+3）-6＝6知，原題等號左邊的九余數是6。等號右邊的九余數也是6。因為6＝6，所以這個減法運算可能正確。
值得注意的是，這里我們用的是“可能正確”。利用棄九法檢驗加法、減法、乘法（見例5）運算的結果是否正確時，如果等號兩邊的九余數不相等，那么這個算式肯定不正確；如果等號兩邊的九余數相等，那么還不能確定算式是否正確，因為九余數只有0，1，2，…，8九種情況，不同的數可能有相同的九余數。所以用棄九法檢驗運算的正確性，只是一種粗略的檢驗。
例5 檢驗下面的乘法算式是否正確：
46876×9537＝447156412。
分析與解：兩個因數的九余數相乘，所得的數的九余數應當等于兩個因數的乘積的九余數。如果不等，那么這個乘法計算肯定不正確。上式中，被乘數的九余數是4，乘數的九余數是6，4×6＝24，24的九余數是6。乘積的九余數是7。6≠7，所以這個算式不正確。
說明：因為除法是乘法的逆運算，被除數=除數×商+余數，所以當余數為零時，利用棄九法驗算除法可化為用棄九法去驗算乘法。例如，檢驗383801÷253=1517的正確性，只需檢驗1517×253=383801的正確性。
